电脑怎么样空出半个字位(如何在 16 位系统上进行 64 位数学运算)

只要对汇编有一点基本的了解，这些函数就能扩展到任意位长的整型数学运算。

几年前，我为FreeDOS写了一个叫做VMATH的命令行数学程序。它只能在很小的无符号整型上执行十分简单的数学运算。随着近来FreeDOS社区里对基础数学的兴趣，我改进了VMATH使其可以为有符号64位整型提供基本的数学支持。

仅使用16位8086兼容的汇编指令来操控大型数字的过程并不简单。我希望能够分享一些在VMATH中用到的技术例子。其中一些方法掌握起来相当容易。而另外一些方法则看起来有点奇怪。你甚至可能学到一种进行基本数学运算的全新方式。

接下来要讲的加、减、乘、除会用到的技术将不局限于并不局限于64位整型。只要对汇编有一点基本的了解，这些函数就能扩展到任意位长的整型数学运算。

在深入研究这些数学函数前，我想先从计算机的角度介绍一下数字的一些基本知识。

计算机是如何读取数字的

一个英特尔兼容的CPU以字节Byte的形式贮存数字，储存顺序为从最低有效字节到最高有效字节。每个字节由8个二进位Bit组成，两个字节组成一个字Word。

一个储存在内存里的64位整型占用了8个字节（即4个字）。例如，数字74565（十六进制表示为0x12345）的值长得是这个样子的：

用字节表示：db0x45,0x23,0x01,0x00,0x00,0x00,0x00,0x00用字表示：dw0x2345,0x0001,0x0000,0x0000

当读取或写入数据到内存时，CPU会以正确的顺序处理这些字节。对于比8086更现代的处理器而言，数据分组可以再大些，比如一个四字组Quadword就可以表达整个64位整型0x0000000000012345。

8086CPU不能理解这么大的数字。当为FreeDOS编程时，你想要写的是一个能在任意电脑上跑的程序，甚至是原始的IBMPC5150。你想要使用能够扩展到任意大小整型的技术。我们其实并不关心更现代CPU的能力。

为了能做整型运算，我们的数据需要表达两种不同类型的数字。

第一种是无符号unsigned整型，其使用了所有的位来表达一个正数。无符号整型的值域为从0到2位长-1。例如，8位数可以是0到255之间的任意值，而16位数则在0到65535之间，以此类推。

有符号整型也很类似。不同之处在于数字的最高位代表了这个数是一个正数（0）还是一个负数（1）。有符号整型的值域前半部分为正数，正数值域是从0到2位长-1-1。整型值域的后半部分为负数，负数值域则从0-2位长-1到-1。

比如说，一个8位数代表着0到127之间的任意正数，以及-128到-1之间的任意负数。为了能更好的理解这一点，想象字节为一列数组[0...127,-128...-1]。因为-128在数组内紧跟着127，127加1等于-128。当然这可能看起来有点奇怪甚至反常，但这其实让这个层级的基本数学运算变简单了。

为了能够对大型整型进行简单的加、减、乘、除，你应该摸索一些简单的公式来计算一个数的绝对值或负值。你在做有符号整型运算的时候会用上它们的。

绝对值与负值

计算一个有符号整型的绝对值并没有它看起来的那么糟糕。由于无符号和有符号数字在内存里的储存形式，我们其实有一个简单的方案。你只需要翻转一个负数的所有字位，得出的结果再加1。

如果你从没接触过二进制的话，这可能听上去有点奇怪，但这就是这么工作的。让我们来举一个例子，取一个负数的8位表达，比如说-5。因为-5靠近[0...127,-128...-1]字节组末端，它的十六进制值为0xfb，二进制值为11111011。如果你翻转了所有字位，你会得到0x04或二进制值00000100。结果加1你就得到了你的答案：你刚刚把-5的值变成了+5。

你可以用汇编写下这个程序用以返回任意64位数字的绝对值：

;语法，NASMforDOSproc_ABS:;启动时，SI寄存器会指向数据段（DS）内的内存位置，那里存放着程序内包含着;会被转为正数的64位数。;结束时，如果结果数字不能被转正，CF寄存器会被设置。这种情况只;有在遇到最大负值时会发生。其余情况，CF不会被设置。;检查最高字节的最高位test[si+7],byte0x80;如不为1，值为正值jz.done_ABS;翻转所有位notword[si+6];字#4notword[si+4];字#3notword[si+2];字#2notword[si];字#1;字#1加1incword[si];如结果不为0，结束jnz.done_ABS;字#2加1incword[si+2];如结果为0，进位下一个字jnz.done_ABSincword[si+4]jnz.done_ABS;此处无法进位incword[si+6];再一次检查最高位test[si+7],byte0x80;如不为1，我们成功了，结束jz.done_ABS;溢出错误，它被转成了负数stc;设置CF并返回ret.done_ABS:;成功，清理CF并返回clcret

你可能已经注意到了，这个函数有一个潜在问题。由于正数和负数的二进制值表达方式，最大负数无法被转成正数。以8位数为例，最大负数是-128。如果你翻转了-128的所有位数（二进制1__0000000），你会得到127（二进制0__1111111）这个最大正值。如果你对结果加1，它会因溢出回到同样的负数（-128）。

要将正数转成负数，你只需要重复计算绝对值的步骤就行。以下的程序十分相似，你唯一需要确认的就是一开始的数字不是已经负了。

;语法，NASMforDOSproc_NEG:;开始时，SI会指向需要转负的数字在内存里的位置。;结束时，CF永远不会被设置。;检查最高字节的最高位test[si+7],byte0x80;如为1，数已经是负数jnz.done_NEGnotword[si+6];翻转字的所有位，字#4notword[si+4];字#3notword[si+2];字#2notword[si];字#1incword[si];字#1加1;如结果不为0，结束jnz.done_NEG;字#2加1incword[si+2];如结果为0，进位下一个字jnz.done_NEGincword[si+4]jnz.done_NEG;此处无法进位或转化incword[si+6];正。.done_NEG:clc;成功，清理CF并返回ret

看着这些绝对值函数与负值函数间的通用代码，它们应该被合并起来节约一些字节。合并代码也会带来额外的好处。首先，合并代码能帮助防止简单的笔误。这样也可以减少测试的要求。进一步来讲，这样通常会让代码变得简单易懂。在阅读一长串的汇编指令时，忘记读到哪里是常有的事。现在，我们可以不管这些。

计算一个数的绝对值或负值并不难。但是，这些函数对于我们即将开始的有符号整型数学运算至关重要。

我已经介绍了整型数字在位这一层面的基本表示方法，也创造了可以改变这些数字的基本程序，现在我们可以做点有趣的了。

让我们来做些数学运算吧！

via:https://opensource.com/article/22/10/64-bit-math

作者：JeromeShidel选题：lkxed译者：yzuowei校对：wxy

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