怎么样在电脑上做个双曲线(木条秒变计算神器计算尺助你放大计算能力，轻松完成复杂运算)

除了对音乐界做出了许多其他的杰出贡献外，音乐家山姆·库克（SamCooke）还录制了20世纪60年代最伟大的单曲之一——《美妙的世界》。这首深情的流行歌曲采用了恰恰舞曲的节奏，每分钟大约有130个节拍。山姆这样唱道：

不太了解地理，

不太了解三角，

不太了解代数，

不太了解计算尺的功用，

但我知道1加1等于2。

如果你能记住这点，

这将是一个多么美妙的世界。

各个年龄段的人都喜欢这首歌，不仅因为歌曲的旋律令人难忘，还因为歌词很接地气。我小时候就很喜欢这首歌，现在仍然喜欢。和山姆一样，我经常觉得自己对地理不太了解。（我很确定自己找不到亚历山大市、马西利亚、锡拉丘兹、安条克、加的斯、阿尔戈和迦太基在地中海海岸的位置，而1891年康奈尔大学的入学考试就有这道题。不过，我想起来了，我知道亚历山大市的位置。）我对计算尺的作用却很熟悉。从小到大，我的腰带上都挂着一把尺子。如果你想知道现代怪客文化的源头，即我们如何能够随时随地发现有用的数字和信息，那就了解一下如何使用计算尺吧。游泳和划船让我对科学原理有了一定的了解，计算尺则让我看到了很多细微之处，并且学会了如何将科学的方法应用到实际生活当中。当你能够通过数字破解自然法则的时候（我无意冒犯山姆·库克），你才能看到真正美妙的世界。

计算尺是一种计算工具，但绝对不是电子器具。它只是一组经过精密加工的木条或金属条，上面有详细的刻度标记，可以滑动，因此也称为滑尺。你如果想用几根小木棍理解如何乘除，或得到数字的平方、平方根、立方、立方根和一些有用的三角函数，不妨这样做。你有没有用一张纸或一块纸板测量过某个物件的宽度？你可以用铅笔在纸上做出标记，然后用尺子读出标记的长度。如果一张纸不够大，你就紧接着再放一张纸，然后在第二张纸上也做个记号，最后在第一张纸的长度基础上加上第二张纸的标记长度。这是一种很简单的方法。

如果你是一个行动派，你有没有用两把尺子测量过长度呢？嗯，你可以这样做。使用两把尺子，用一把尺子的长度加上另一把尺子的部分长度，从而得到总长度，让我们动手试一试吧。例如，你床边可能有一张40厘米宽的边桌或尾桌。你可以在桌子上放一把30厘米的尺子，然后在它的旁边放置另一把尺子，并读出第二把尺子的标记刻度。我相信你能找到10厘米的标记。10加30就是40（厘米）。这种方法对于整数甚至小数都很有效，只是我们要在头脑中做一些加法运算。我们有10根手指，所以我们采取的是十进制，用0到9来表示自然界中的所有数字。

计算尺也是同样的道理，只不过采用了特殊的刻度，这些刻度被标记在长条的竹片、金属镁、塑料甚至象牙上面。计算尺通常包含两个主要部分：滑尺和主尺。两者都有精确的刻度，但这些刻度不是用来区分常规长度的，而是用来表示一个数字的对数的。顺便说一下，计算尺上有一条十字准线，通常就是把一根细线或真人毛发嵌在塑料或玻璃里，以确保计算尺的滑尺和主尺上所有重要的数字都能够精确对准。亲爱的读者，你知道那个十字准线叫什么吗？游标（cursor）。这个词比计算机光标的出现还要早几个世纪。今天，世界各地的人都在使用这个词，却不知道它是由早期的怪客们创造出来的。不知怎的，这种神秘的联系让我感到骄傲。

你也许不记得什么是对数了，实际上它们没有什么特别的复杂或可怕之处，无非是这个样子：100是10的平方，或者写成102。100的对数就是2，数字2写在右上角，被称为“指数”，拉丁语的意思是“放到一边”。指数可以表示对数，数字1000等于103，而103的对数就是3。如果你用100乘以1000，就是100000。我想你已经明白了。100000就是105，也就是说100000的对数是5。这真有意思。102乘以103，等于105。你不需要把这些数字乘起来。只需让对数相加（2+3=5），对数以一种怪客们热衷的方式让生活变得简单起来。你可能会说，这是一种指数级的变革。另外，对数可以介于两个整数之间。10的对数是1（101=10），100的对数是2，你可以很容易地想到50的对数应该在1到2之间，实际上约等于1.70。现在，让我们再看一看数字之美。1的对数是0（100=1），所以5的对数非常接近0.70，即50的对数减去10的对数。不相信一个数的0次方是1吗？确实是这样，我可以用一句话来证明：任何数字乘以1都是原数，所以任何数的0次方都必须是1才能使这个乘法成立。此处应当配一段带有神秘感的音乐。

对数是科学语言的一个重要组成部分，因为它提供了一种便捷的方式来记录超出人类感知范围的极大值和极小值。在可观测的宇宙中有多少颗恒星？哦，大约是1023颗。地球上有多少个原子？大约1050个。一旦你熟悉了这些东西，就会觉得用计算尺计算对数非常好用。你可以把一个对数刻度沿着另一个对数刻度滑动，并读出两者之和，就像我们测量边桌长度时那样，不过你得到的不再是算数值或2+2之类的数，而是相加得到对数值。换句话说，就是通过加法计算乘法。当我们把滑尺移向相反的方向，就是在利用对数相减来做除法。再放点带有神秘感的音乐吧。

我在上高中和大学的时候，同学们曾经进行比赛，看谁能以最快的速度乘、除、乘以π，然后算出所得数值的平方根，或进行类似的运算。这是怪客们的标准竞技运动，我很擅长这个，而肯·塞维林则是一名职业级选手。他在SAT（美国高中毕业生学术能力水平考试）数学二级中得了满分800分，那是当时人们能得到的最高分数。他后来去了加州理工学院，专门研究怎样通过电子给微型物体拍照。他使用的是一种如今被称为扫描电子显微镜的工具，现在这个东西已经很普遍了。后来，塞维林博士毕业，在阿拉斯加大学任教，并建立了先进的控制仪器实验室。他是我最要好的高中同学，我们一起做过许多怪客才做的事情，比如摆弄电阻、晶体管、电容等。

如果你还不太理解计算尺的具体操作，那你也不用担心。这些和数值相关的东西需要勤加练习才能掌握，这就是重点。掌握数学、科学和其他任何高级技能都需要付出努力。因此，计算尺是一枚智力勋章。不，不只是一枚普通的勋章，它还是大型机场跑道上的一盏指示灯，提醒着其他人，你是怪客世界的一分子。我们喜欢这种感觉，这从我们对待计算尺的态度上便可见一斑。我们把滑石粉涂在滑尺上，调整了螺丝，使滑尺在移动时有适度的摩擦力，从而尽可能地提升滑动速度，同时也减少了误差。我们对计算尺如此珍视，不是为了在人前炫耀，而是另有原因：使用计算尺可以让人感知任何事物与其他事物的相对大小。计算尺改变了我的生活，只要把滑尺沿着主尺移动，我就能迅速地把物理范围从原子扩展到整个宇宙，一切尽在我的指尖。

1972年，我还是个高中生的时候，发生了一件事，让我至今难忘。那天有个孩子带着一个崭新的惠普35来到我家，他的父母都是技术人员出身，而那台惠普35是世界上第一款袖珍计算器。“35”表示它有35个键，这台计算器不仅可以做乘除运算，还可以求正弦、余弦和平方根，甚至可以算出数字的“自然对数”。哇！这就是后来所有其他袖珍计算器的前身，也是个人电子革命的开端。正是因为这个小东西的出现，后来才有了家用电脑、笔记本电脑和智能手机。

我们这些怪客都对数字情有独钟，并因此感到自豪，过去是这样，现在依然如此。我们能知道一个数字应该有多大。我的意思是，我们在应用数字时——即使是极大值或极小值，我们都可以直接感觉出小数点应该落在哪个位置。那时我们都觉得这要归功于我们使用了计算尺。在计算尺上面，1.7看起来和17、0.17、170或者170万没有什么不同，所以像我们这样的“滑尺人”在计算答案是多少的时候，必须要小心地找准10的幂。我们必须从骨子里去感受这些数字。有了电子计算器后，你就不必这样做了。然而，通过一小盒电路来做这项工作，总让我有一种被蒙在鼓里的感觉。我们来看一下：如果你在惠普35上用9乘以9，得到81（没问题），但是如果你计算92（或9的平方），得到的却是80.999999。不知道电子逻辑中的哪个地方出现了小小的舍入误差。哦，我想……我还是保留我的计算尺吧。

总之，我和我的朋友们并没有觉得时髦的计算器有多么了不起，至少一开始没有这种感觉。我们认为它们不值这个价，而且有很多缺陷。惠普35最初的售价是395美元，以今天的标准计算大约是2300美元。我可是把我最信赖的皮克特N3—ES型计算尺从高中用到了大学。我刚刚进入工程学院的时候，每个人都有一把计算尺，我们都很珍视它们。

阿波罗11号的宇航员在登月时也携带了计算尺，以便在登月过程中用它来核对一些数字，据说我的皮克特计算尺和他们所用计算尺的设计是一样的。后来我发现我的计算尺实际上比NASA提供的那些用处更大一点。它比往返太空的那些计算尺多一些刻度，这意味着它的计算范围更广。看到了吗？我原本可以成为一名宇航员！

当变革最终降临到怪客们的世界时，它来得猝不及防。我记得那是1975年的冬天，每个人都回家过节了。等他们回到学校的时候，人人手里都拿着一个计算器。无论是圣诞节、光明节还是寒假，他们的父母都预备好了节日的礼物，希望他们的孩子能跟上时代的节奏。我的第一台机器是德州仪器SR—50。你知道SR代表什么吗？“计算尺”（SlideRule）。制造商几乎是在大声宣布：“这东西就像计算尺一样好用！”

如果你正等着我去怀念过去的美好时光，那么，亲爱的读者，我要让你失望了。我现在承认了，SR—50不是和计算尺一样好用，而是更加好用。它可以计算双曲线的正弦和余弦值，而且可以大声读出结果！电子计算器还有一个很重要的好处：它比计算尺更加大众化，让人们可以更容易地与数字打交道并掌握科学概念，从根本上来说，这是知识和信息的一次胜利跃迁，对怪客来说是一件好事。当然，从表面上看，我和我的朋友们都不喜欢让这么多不了解复杂计算尺的人进入怪客阵营。然而，在内心深处，我们明白扩大怪客阵营是件好事。我们没有把自己置身事外。我们觉得自己是在用最好、最诚实的方式看待世界（我现在仍然这样认为）。

很快就会有很多人不知道计算尺为何物了，包括怪客在内。人类通过打造新的技术，提供了更加有效的方式来处理数字，而这些数字决定了工程解决方案的科学研究结果。顺便说一下，我的皮克特N3—ES型计算尺已经不在我这儿了：它在史密森学会的收藏馆里。档案保管员过来“把我的东西拿去收藏了”，我的计算尺现在被存放在一个安全的地方，供后代观摩。这是一个放置器具的好地方，计算尺帮助我们取得了今天的成就，但又不止步于此，它和星盘、六分仪和其他工具一起推动了科学事业的进步，直到科学将其淘汰。

今天，我们很难理解工程师们在没有电脑和电子计算器的情况下是如何工作的。我经常拿早期火箭坠落和爆炸的黑白镜头开玩笑——之所以会发生这种事情，是因为当时的火箭科学家只能用计算尺来工作。但事实是，他们确实完成了本职工作，我指的不仅是NASA的工程师们，还包括电子时代到来之前的每一个人。他们都找到了有效的方法，通过操控数字来扩展人类的理解力，而这是单凭大脑无法做到的。我一直追溯到苏美尔人，他们在4500年前发明了算盘。再来看威廉·奥特雷德（WilliamOughtred），这位英国国教牧师和怪客们崇拜的英雄在1622年发明了第一把计算尺。

纵观历史，科学家和工程师（不管他们是否这样称呼自己）都利用最新的技术来量化他们的世界。因此，尽管我对旧器具有很深的感情，但当我看到计算尺几乎踪迹全无时也尚可接受。它从教室和数学社团里消失了，不是因为科学不再受到重视，而是因为科学非常重要。如今，我们有了更好、更强大的操纵数字的方法，如果我们不加以利用反而有点奇怪了。

世界上任何一个网民都能获得无数的高等数学程序和易于使用的软件。例如，你只要输入y=ln（78），立刻就可以得出y=4.35671（只要你想知道，后面的许多位小数都可以显示出来）。许多程序软件都是免费的，或者至少比我的旧皮克特N3—ES型计算尺要便宜得多，而功能却强大到能够让人瞠目结舌。当计算变得容易时，科学研究也会容易起来。其产生的影响既有现实意义，也有宏观意义。例如，由于统计数据将更加全面，所以医学研究会越来越可靠。从另一个层面上看，天文学家可能很快就会发现暗物质的本质，因为他们将可以获得关于恒星运动的泽字节级的海量数据。

我满怀热情地回顾高中往事是因为我想抓住这些可能性。计算尺不过是实现目的的一种手段：10个数字和几十个数学运算式构成的群组就可以让人类的大脑在时空中漫游，以数学方式与自然界的一切事物进行交流。如今，这种激情比以往任何时候都更容易被激发出来。公民科学项目让任何人都可以参与气候研究，扫视遥远的星系，研究你肠道里的微生物，或者倾听有可能来自外星文明的信号。你还可以通过免费的在线课程学习高级数论。这是我之前提到的在我们这个时代信息的获取空前便捷的一个表现。

计算尺为我和我的怪客伙伴们提供了一种有形的联系，但让人感到遗憾的是，这种特殊的经历已经一去不复返了，不过我依旧时常怀念那些旧时光。然而，我还是很高兴，我们之间又少了一个障碍，同时我们对周围的世界有了更深的了解。我向你发起的挑战不再是专注于演示计算尺（以及所有其他已经成为极客时尚的东西）的图解，而是更进一步，就像山姆·库克唱的那样，“了解计算尺的功用”，玩转数字，发现规律，并把你对世界的认知应用到各种地方，感受你内心的宇宙。如果可以，我们将为科学进程做出贡献，或者我们也可以单纯地阅读、聆听和陶醉其中。如果更多的人能够深入地了解数学思维，那将是一个多么美好的世界。